一维向量旋转算法

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《编程珠玑》第二章提到了n元一维向量旋转算法（又称数组循环移位算法）的五种思路，并且比较了它们在时间和空间性能上的区别和优劣。

问题描述

将一个n元一维向量向左旋转i个位置。例如，假设n=8，i=3，向量abcdefgh旋转为向量defghabc。简单的代码使用一个n元的中间向量在n步内可完成该工作。你能否仅使用几十个额外字节的内存空间，在正比于n的时间内完成向量的旋转？

解决方案

思路一：将向量x中的前i个元素复制到一个临时数组中，接着将余下的n-i个元素左移i个位置，然后再将前i个元素从临时数组中复制到x中余下的位置。性能：这种方法使用了i个额外的位置，如果i很大则产生了过大的存储空间的消耗。

C++代码实现：

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    > File Name: vector_rotate.cpp
    > Author: SongLee
    > E-mail: lisong.shine@qq.com
    > Created Time: 2014年06月04日 星期三 17时07分06秒
    > Personal Blog: http://songlee24.github.io
 ************************************************************************/
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

int main()
{
    string s = "abcdefghijklmn";
    cout << "The origin is: " << s << endl;
    // 左移个数
    int i;
    cin >> i;
    if(i > s.size())
    {
        i = i%s.size();
    }
    // 将前i个元素临时保存
    string tmp(s, 0, i);
    // 将剩余的左移i个位置
    for(int    j=i; j<s.size(); ++j)
    {
        s[j-i] = s[j];
    }
    s = s.substr(0, s.size()-i) + tmp;
    cout << "The result is: "<< s << endl;
    return 0;
}

思路二：定义一个函数将x向左旋转一个位置（其时间正比于n），然后调用该函数i次。性能：这种方法虽然空间复杂度为O(1)，但产生了过多的运行时间消耗。

C++代码实现：

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    > File Name: vector_rotate_1.cpp
    > Author: SongLee
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    > Created Time: 2014年06月04日 星期三 19时49分59秒
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#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

void rotateOnce(string &s)
{
    char tmp = s[0];
    int i;
    for(i=1; i<s.size(); ++i)
    {
        s[i-1] = s[i];
    }
    s[i-1] = tmp;
}


int main()
{
    string s = "abcdefghijklmn";
    cout << "The origin is: " << s << endl;
    // 左移个数
    int i;
    cin >> i;
    if(i > s.size())
    {
        i = i%s.size();
    }
    // 调用函数i次
    while(i--)
    {
        rotateOnce(s);
    }
    cout << "The result is: "<< s << endl;
    return 0;
}

思路三：移动x[0]到临时变量t中，然后移动x[i]到x[0]中，x[2i]到x[i]，依次类推，直到我们又回到x[0]的位置提取元素，此时改为从临时变量t中提取元素，然后结束该过程（当下标大于n时对n取模或者减去n）。如果该过程没有移动全部的元素，就从x[1]开始再次进行移动，总共移动i和n的最大公约数次。性能：这种方法非常精巧，像书中所说的一样堪称巧妙的杂技表演。空间复杂度为O(1)，时间复杂度为线性时间，满足问题的性能要求，但还不是最佳。

C++代码实现：

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    > File Name: vector_rotate_2.cpp
    > Author: SongLee
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    > Created Time: 2014年06月04日 星期三 20时21分59秒
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#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

// 欧几里德（辗转相除）算法求最大公约数
int gcd(int i, int j)
{
    while(1)
    {
        if(i > j)
        {
            i = i%j;
            if(i == 0)
            {
                return j;
            }
        }
        if(j > i)
        {
            j = j%i;
            if(j == 0)
            {
                return i;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    string s = "abcdefghijklmn";
    cout << "The origin is: "<< s << endl;
    // 左移个数
    int i;
    cin >> i;
    if(i > s.size())
    {
        i = i%s.size();
    }
    // 移动
    char tmp;
    int times = gcd(s.size(), i);
    for(int j=0; j<times; ++j)
    {
        tmp = s[j];
        int pre = j; // 记录上一次的位置
        while(1)
        {
            int t = pre+i;
            if(t >= s.size())
                t = t-s.size();
            if(t == j) // 直到tmp原来的位置j为止
                break;
            s[pre] = s[t];
            pre = t;
        }
        s[pre] = tmp;
    }
    cout << "The result is: "<< s << endl;
    return 0;
}

思路四：旋转向量x实际上就是交换向量ab的两段，得到向量ba，这里a代表x的前i个元素。假设a比b短。将b分割成$b_l$和$b_r$，使$b_r$的长度和a的长度一样。交换a和$b_r$，将$ab_lb_r$转换成$b_rb_la$。因为序列a已在它的最终位置了，所以我们可以集中精力交换b的两个部分了。由于这个新问题和原先的问题是一样的，所以我们以递归的方式进行解决。这种方法可以得到优雅的程序，但是需要巧妙的代码，并且要进行一些思考才能看出它的效率足够高。

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// 略

思路五：（最佳）将这个问题看做是把数组ab转换成ba，同时假定我们拥有一个函数可以将数组中特定部分的元素逆序。从ab开始，首先对a求逆，得到$a^r b$，然后对b求逆，得到$a^r b^r$。最后整体求逆，得到$(a^r b^r)^r$，也就是ba。
reverse(0, i-1) /cbadefgh/
reverse(i, n-1) /cbahgfed/
reverse(0, n-1) /defghabc/
性能：求逆序的方法在时间和空间上都很高效，而且代码非常简短，很难出错。

C++代码实现：

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    > Created Time: 2014年06月04日 星期三 23时37分54秒
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#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

void reverse(string &s, int begin, int end)
{
    while(begin < end)
    {
        char tmp = s[begin];
        s[begin] = s[end];
        s[end] = tmp;
        ++begin;
        --end;
    }
}

int main()
{
    string s = "abcdefghijklmn";
    cout << "The origin is: "<< s << endl;
    
    int i;
    cin >> i;
    if(i > s.size())
    {
        i = i%s.size();
    }

    reverse(s, 0, i-1);
    reverse(s, i, s.size()-1);
    reverse(s, 0, s.size()-1);

    cout << "The result is: "<< s << endl;
    return 0;
}

扩展延伸

如何将向量abc旋转变成cba？
和前面的问题类似，此向量旋转对应着非相邻内存块的交换模型。解法很相似，即利用恒等式：

$$cba = （a^r b^r c^r）^r$$

注：在面试或笔试时，如若出现向量旋转（内存块交换）问题，最好使用思路五答题，不仅高效而且简洁。