上篇讲到使用动态规划可以在 θ(mn) 的时间里求出 LCS 的长度，本文将讨论如何输出最长公共子序列。
*问题描述：给定两个序列，例如 X = “ABCBDAB”、Y = “BDCABA”，求它们的最长公共子序列的长度。*
下面是求解时的动态规划表，可以看出 X 和 Y 的最长公共子序列的长度为4：
输出一个最长公共子序列并不难（网上很多相关代码），难点在于输出所有的最长公共子序列，因为 LCS 通常不唯一。总之，我们需要在动态规划表上进行回溯 —— 从table[m][n]，即右下角的格子，开始进行判断：
如果格子
table[i][j]对应的X[i-1] == Y[j-1]，则把这个字符放入 LCS 中，并跳入table[i-1][j-1]中继续进行判断；如果格子
table[i][j]对应的X[i-1] ≠ Y[j-1]，则比较table[i-1][j]和table[i][j-1]的值，跳入值较大的格子继续进行判断；直到 i 或 j 小于等于零为止，倒序输出 LCS 。
如果出现table[i-1][j]等于table[i][j-1]的情况，说明最长公共子序列有多个，故两边都要进行回溯（这里用到递归）。
从上图的红色路径显示，X 和 Y 的最长公共子序列有 3 个，分别为 “BDAB”、“BCAB”、“BCBA”。
C++代码如下：1
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110// 动态规划求解并输出所有LCS
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
using namespace std;
string X = "ABCBDAB";
string Y = "BDCABA";
vector<vector<int>> table; // 动态规划表
set<string> setOfLCS; // set保存所有的LCS
int max(int a, int b)
{
return (a>b)? a:b;
}
/**
* 字符串逆序
*/
string Reverse(string str)
{
int low = 0;
int high = str.length() - 1;
while (low < high)
{
char temp = str[low];
str[low] = str[high];
str[high] = temp;
++low;
--high;
}
return str;
}
/**
* 构造表，并返回X和Y的LCS的长度
*/
int lcs(int m, int n)
{
// 表的大小为(m+1)*(n+1)
table = vector<vector<int>>(m+1,vector<int>(n+1));
for(int i=0; i<m+1; ++i)
{
for(int j=0; j<n+1; ++j)
{
// 第一行和第一列置0
if (i == 0 || j == 0)
table[i][j] = 0;
else if(X[i-1] == Y[j-1])
table[i][j] = table[i-1][j-1] + 1;
else
table[i][j] = max(table[i-1][j], table[i][j-1]);
}
}
return table[m][n];
}
/**
* 求出所有的最长公共子序列，并放入set中
*/
void traceBack(int i, int j, string lcs_str)
{
while (i>0 && j>0)
{
if (X[i-1] == Y[j-1])
{
lcs_str.push_back(X[i-1]);
--i;
--j;
}
else
{
if (table[i-1][j] > table[i][j-1])
--i;
else if (table[i-1][j] < table[i][j-1])
--j;
else // 相等的情况
{
traceBack(i-1, j, lcs_str);
traceBack(i, j-1, lcs_str);
return;
}
}
}
setOfLCS.insert(Reverse(lcs_str));
}
int main()
{
int m = X.length();
int n = Y.length();
int length = lcs(m, n);
cout << "The length of LCS is " << length << endl;
string str;
traceBack(m, n, str);
// 倒序输出
set<string>::iterator beg = setOfLCS.begin();
for( ; beg!=setOfLCS.end(); ++beg)
cout << *beg << endl;
getchar();
return 0;
}
运行结果：
Java版本的代码：1
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100import java.util.TreeSet;
public class MyClass {
private String X;
private String Y;
private int[][] table; // 动态规划表
private TreeSet<String> set = new TreeSet<String>();
/**
* 功能：带参数的构造器
*/
public MyClass(String X, String Y) {
this.X = X;
this.Y = Y;
}
/**
* 功能：求两个数中的较大者
*/
private int max(int a, int b) {
return (a>b) ? a:b;
}
/**
* 功能：构造表，并返回X和Y的LCS的长度
*/
private int lcs(int m, int n) {
table = new int[m+1][n+1]; // 表的大小为(m+1)*(n+1)
for(int i=0; i<m+1; ++i) {
for(int j=0; j<n+1; ++j) {
// 第一行和第一列置0
if (i == 0 || j == 0)
table[i][j] = 0;
else if(X.charAt(i-1) == Y.charAt(j-1))
table[i][j] = table[i-1][j-1] + 1;
else
table[i][j] = max(table[i-1][j], table[i][j-1]);
}
}
return table[m][n];
}
/**
* 功能：回溯，求出所有的最长公共子序列，并放入set中
*/
private void traceBack(int i, int j, String lcs_str) {
while (i>0 && j>0) {
if (X.charAt(i-1) == Y.charAt(j-1)) {
lcs_str += X.charAt(i-1);
--i;
--j;
}
else {
if (table[i-1][j] > table[i][j-1])
--i;
else if (table[i-1][j] < table[i][j-1])
--j;
else { // 相等的情况
traceBack(i-1, j, lcs_str);
traceBack(i, j-1, lcs_str);
return;
}
}
}
set.add(reverse(lcs_str));
}
/**
* 功能：字符串逆序
*/
private String reverse(String str) {
StringBuffer strBuf = new StringBuffer(str).reverse();
return strBuf.toString();
}
/**
* 功能：外部接口 —— 打印输出
*/
public void printLCS() {
int m = X.length();
int n = Y.length();
int length = lcs(m,n);
String str = "";
traceBack(m,n,str);
// 倒序输出
System.out.println("The length of LCS is: " + length);
for(String s : set) {
System.out.println(s);
}
}
/**
* 功能：main方法 —— 程序的入口
*/
public static void main(String[] args) {
MyClass lcs = new MyClass("ABCBDAB","BDCABA");
lcs.printLCS();
}
}
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